Suku banyak teorema sisa (matematika)

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Matematika pada hakikatnya adalah ilmu yang universal yang mendasari perkembangan teknologi modern yang berkembang pesat saat ini, seperti perkembangan dibidang teknologi informasi, Semua hal dibidang teknologi informasi dilandasi oleh perkembangan matematika dibidang aljabar, analisis, teori peluang dan matematika diskrit.Ini berarti bahwa matematika merupakan ilmu yang menyeluruh yang menjadi penunjang pokok dalam perkembangan teknologi yang berkembang saat ini artinya juga di dalam matematika terdapat berbagai pengetahuan yang luas yang bisa dimanfaatkan untuk memecahkan masalah-masalah dalam kehidupan sehari-hari. Matematika juga bisa dikatakan sebuah data yang satuannya selalu bulat, jelas, cocok dengan manusia sampai sekarang ini.

Pelajaran matematika memiliki banyak fungsi, diantaranya: 1 membantu siswa dalam memahami bidang studi lain seperti fisika, kimia, biologi, IPA, IPS dan lain sebagainya, 2 siswa dapat memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Berdasarkan teori ini dapat diketahui bahwa  fungsi dari pelajaran matematika begitu banyak dan lengkap, diantaranya : 1 membantu siswa dalam memahami bidang studi lain, contohnya untuk menyelesaikan hitungan kecepatan dalam bidang studi fisika menggunakan dasar-dasar ilmu hitung matematika, 2 memecahkan  masalah dalam kehidupan sehari-hari artinya matematika mampu memberikan solusi dalam aktivitas sehari-hari manusia dalam kehidupan. Salah satu ilmu matematika yang tak kalah penting adalah suku banyak, teorema sisa dan teorema faktor. Ilmu matematika suku banyak ini mulai dipelajari siswa semenjak SMP, SMA dan perguruan tinggi, maka dari itu penulis sengaja membuat makalah tentang suku banyak, teorema sisa dan teorema faktor dala rangka memenuhi tugas mata kuliash matematika di bnaku perkuliahan.

        B. Tujuan Makalah

Tujuan dari pembuatan makalah ini adalah sebaga berikut:

1. Untuk memenuhi tugas mata kuliah matematika

2. Untuk menambah wawasan tentang ilmu matematika khususnya suku banya, teorema sisa dan teorema faktor.

BAB II PEMBHASAN

SUKU BANYAK TEOREMA SISA DAN TEOREMA FAKTOR

1. Suku Banyak

1.      Suku Banyak, Derajad Suku Banyak, Koofisien Suku Banyak dan Suku Tetap.

grafik y = (x + 2)2 diperoleh dengan cara menggeser grafik y    x2 sejauh 2 satuan ke kiri, seperti diperlihatkan pada Gambar 5.1

                                    y = (x + 2)2               y      y = x2

4 –2    0 x

Adapun grafik y = (x – 1)3  diperoleh dari grafik y =  3 dengan cara menggeser grafik dari y    x3 sejauh 1 satuan ke kanan seperti diperlihatkan pada Gambar 5.2.

                        Y                              y = (x –1)3

1                  x –1

Amati keempat persamaan berikut.

y = x2

y = (x + 2)2 =  2 + 4x + 4

y =  3

y = (x – 1)3 = x3 – 3x2 + 3x – 1

Ruas kanan keempat persamaan itu merupakan suku banyak dalam peubah (variabel) x. Suku banyak  3 – 3 2  +3x – 1 terdiri atas empat suku, yaitu suku ke-1 adalah x3 suku ke-2 adalah –3x2, suku ke-3 adalah 3 , dan suku ke-4 adalah –1. Derajat suatu suku banyak ditentukan oleh pangkat tertinggi dari variabel pada suku banyak tersebut. Jadi, derajat dari suku banyak x3 – 3x2 + 3  – 1 adalah 3. Koefisien suku banyak dari x3   x2, dan berturut turut adalah 1, –3, dan 3. Adapun –1 dinamakan suku tetap (konstanta). Secara umum, suku banyak dalam peubah berderajat

n ditulis sebagai berikut:

 

p(x)=α_nxⁿ₊α_n-1x^n-1₊ α_n-2x^n-2_+.........+α₂x²₊α₁x₊α₀

Cara penyusunan suku banyak berdasarkan pangkat x

Yang berkurang dengan α_n, α_{n-1,....................}α₁ adalah koofisien-

Koofisien suku banyak yang merupakna konstanta real

Dan α_n≠0

α₀₌ Suku tetap yang merupakan konstanta real

n= Derajad suku banyak dan n adalah bilangan cacah

 

2.      Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Suku Banyak

Diketahui, f(x) = –3 3      x2 + 2x dan g(x) =  8 +2x5 – 15 2+ 6x + 4

•     Penjumlahan suku banyak f( ) dengan g(x) adalah

       f( ) + g(x) = (–3x3 –  2 + 2x) + (x8 2 5 – 15 2 + 6x + 4

                        x8 + 2 5 – 3 3 – 16 2 + 8x + 4

•     Pengurangan suku banyak f( ) dengan suku banyak g( ) adalah

f   ) – g(x) = f( ) + (–g(x))

          = (–3x3 –  2 + 2x) + (   8 – 2x5 + 15 2– 6x – 4)

   – 8 – 2x5 – 3 3 + 14x2 – 4x – 4

•     Perkalian suku banyak f( ) dengan suku banyak g( ) adalah

f( ) × g( ) = (–3x3 –  2 + 2x) ( 8 + 2x5 – 15 2 + 6x + 4)

                       = –3 11 – 6x8 + 45 5 – 18 4 – 12x3 –  10 –  x7 +

15x4 – 6x3  – 4x2 + 2x9 + 4x6 – 30x3 + 12x2 + 8

          = –3x11  –   10  + 2x9  –6 8  –2x7  + 4x6 + 45 5

            3 4 – 48 3

B.     Menghitung Nilai Suku Banyak

1.      Cara Substitusi

Menentukan nilai g(x) = sin  untuk x =  dan x =  yaitu:

g  dan x=, yaitu

                  g = sin = sin =1

                  g  = sin  = 0

Akan tetapi, kita akna mengalami kesulitan jika harus menentukan g  = sin  karena  bukan merupakan sudut istimewah.

Lain halnya dengan fungsi suku banyak, berapa pun nilai yang diberikan pada peubahnya, dapat ditentukan dengan mudah nilai suku banyak tersebut.

Contoh: diketahui, suku banyak P(x) 3x^4_2x²_{+ 5X-6}  maka

·         untuk X=1, diperoleh P(1)= 3(1)^4_2(1)²₌ 5(1)- 6=0

·         Untuk X=-1, diperoleh P(-1)=-10

·         Untuk x=0, diperoleh -6

·         Untuk x+2=0 atau x=-2, diperoleh P(-2)=24

·         Untuk x-2=0 atau x=2, diperoleh P(2)=44

Kemudian, misalkan suku banyak P(x)=5x³₊4x²_-3X-2

Maka

·           Untuk x=k=1, diperoleh

P(k+1)=5(k+1)²_{+4 (}k+1)²_-3(k+1)-2

           = 5 k³₊19k²₊20k+4

·      Untuk x = k-1, diperoleh

P(-k) = 5(k-1)³₊ 4 (k-1)²_-3 (k-1)-2

         = 5k³_-11 k²₊3k-2

·      Untuk x = -k+1, diperoleh

P(-k+1)= -5k³₊19k²_-20k+4

Dari uraian di atas, maka dapat ditentukan rumus suku banyak sebagai berikut:

Nilai suku banyak P(x) = _nXⁿ_+n-1X^n-1_+n-2X^n-2_+.....

₊₂x²₊₁+_0, untuk x=k dimana k suatu bilangan real adalah:

 P(k)= _nkⁿ_+n-1k^n-1_+n-2k^n-2_+.........+2k²₊₁k+α₀

2.      Cara Skema

Untuk menentukan nilai dari suatu suku banyak dengan nilai tertentu bagi peubahnya akan lebih mudah jika menggunakan   ara skema dibandingkan dengan   ara substitusi. Contoh:  Diketahui, P( )    3 4       2 2 – 5x    6

     Maka P( ) dapat pula disusun sebagai berikut.

              P( )    3 4       2 2 – 5x    6

                         3 4       0 3       2 2 – 5x    6

(3      3       0 2       2     5)  + 6

                        = [(3x2 + 0x    2)   – 5] x    6

                                           [[(3x    0 )x    2]   – 5] x    6             …(1)

                        Jika nilai x   2 disubstitusikan pada persamaan (1) maka

            P(2)    car  bertahap diperoleh sebagai berikut.

            P( )      = [[(3x   0)  + 2] x    5]  + 6

            P(2)= [[(32   0)2   2]2 – 5]2   6   [(62   2)2   5]2   6

                      (142   5) 2 + 6 = 232    6    52

·         Langkah ke-1 menghitung 32    0    6

·         Langkah ke-2 menghitung 62    2    14

·         Langkah ke-3 menghitung 142    5    23

·         Langkah ke-4 menghitung 232    6    52

           Langkah-langkah itu dapat disajikan dalam bagan (skema) sebagai berikut:

            Perhitungan untuk memperoleh P(2) dapat disajikan melalui skema berikut. Namun ada dua operasi dalam proses ini, yaitu perkalian dan penjumlahan

·         Nilai     = 2 dituliskan pada baris pertama skema, kemudian diikuti oleh koefisien setiap suku dari pangkat tertinggi ke terendah dan suku tetap.

·         Operasi aljabar pada skema tersebut adalah perkalian dan penjumlahan.

·         Tanda panah menyatakan “kalikan dengan nilai   = 2”

 

x=2            3         0           2          -5           6

                                      (+)        (+)        (+)          (+)

                                                   3(2)      6(2)     14(2)     23(2)                                  

                                          3          6          14       23         5                p(2)

Secara umum, perhitungan nilai suku banyak

P(x)=α_nxⁿ₊α_n-1x^n-1₊ α_n-2x^n-2_+..........+ α₂x²₊ α₁x+α₀

Untuk x=k menggunakan cara skema diperlihatkan pada gambar 5.3.

Dengan:

               An       =   α n

               An – 1 = An(k) + an – 1

               A – 2 = An–  (k) +   n – 2

               .

               .

               .

               A2     = A3(k) + a2

              A    = A2(k) + a

             A0     = A1(k) + a0

               x=k          α_n             α_n-1          α_{n-2             ...}             α₂         α₀            α₀        

                                            (+)        (+)                       (+)       (+)       (+)

                                          A_n(k)     A_n-1(k)                   A₃(k)    A₂(k)    A₁(k)

                              A_n         A_n-1        A_{n-2                                ...}             A₁           A₂           A₀                           p(k)

C. Pembagian Suku Banyak

       1. Pengertian Bagi, Sisa Bagi dan Hasil Bagi

Proses pembagian suku banyak pun mempunyai proses yang hampir sama dengan pembagian bilangan bulat. Untuk mengetahui hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak, perlu menguraikan suku banyak menjadi perkalian beberapa suku banyak. Amati perkalian-perkalian berikut:

          a.(x + 1)(  + 2)(2x – 3) = (2 + 3x + 2)(2x – 3)

=   x3 + 3 2 – 5x – 6

           b   (  – 1)(x3 – 3) =  4       x3 – 3  + 3

Amatilah proses perkalian tersebut dengan saksama. Dari perkalian (x + 1)(+ 2)(2x – 3), dihasilkan suatu suku banyak 2x3 + 3 2 – 5x – 6. Dengan kata lain, jika diberikan atau diketahui suatu suku banyak, dapatlah suku banyak itu difaktorkan. Dengan demikian, Anda dapat lebih mudah melakukan pembagian terhadap suatu suku banyak.

Diketahui, P(x ) = x3 – 7x2 + 4x + 50 adalah suku banyak berderajat 3.

Pembagian P(x) oleh x – 3 dengan cara pembagian biasa adalah sebagai berikut: 

            X²_-4x-8

      x-3  

                   x³_-3x²

                         ₄x²₊4x

                   ₄x²₊₁₂x

                  -8x=50

                  -8x+24

                      26

Jadi, (x3 – 7 2 + 4x + 50) : (– 3) = x2 – 4  – 8 dengan sisa 26. Akibatnya,  suku banyak P( ) dapat ditulis sebagai 3 – 7 2 + 4x + 50 = (– 3 ) (x2 – 4  – 8) + 26 atau P(x) = (  – 3) × H( ) + sisa … (i),

dengan H( ) =  2 – 4x – 8 dan sisa = 26. Jika nilai     = 3 disubstitusikan pada persamaan (i), diperoleh P(3)  =  (3 – 3 ) × H(3) + sisa =  0 × H(3) + sisa =  sisa

Jadi, sisa pembagian oleh (  – 3) terhadap P(x) adalah P(3). Dari uraian tersebut, Konsep pembagian suku banyak yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas ketentuan berikut.

 

Sisa pembagian oleh (x – k) terhadap

P(x)=α_nx^n-1₊α_n-2x^n-2_+.......+α₂x²₊α₁x+α₀

Adalah P(k) atau P(x)=(x-k) H (x) +sisa, dengan sisa P(k)

2. Pembagian Suku Banyak Dengan horner

a. Pembagian Suku Banyak dengan (x -  k)

P (x)=α_nxⁿ₊α_n-1x^n-1₊α_n-2x^n-2

^+.........+ α₂x²₊α₁x+α₀ dibagi (x-k) hasilnya adalah H (x)

Dan sisanya P (k). Secara matematis, ditulis P (x)=(x-k)

H (x) + sisa, dengan sisa=A₀ P(k)

Diketahui P(x)=α₃x³₊α₂x²₊α₁x+α₀ dan (x-k) adalah

Pembagi P(X). Oleh karena P (x) berderajat 3 dan (x-k) berderajat 1

Maka derajat H (x) adalah (3-1)=2 dan derajat sisa adalah (1-1)=0

Berdasarkan kesamaan suku banyak tersebut (pada: kedua ruas), Anda dapat menentukan nilai b2   b , b0, dan A0 dengan langkah-langkah sebagai berikut:

·         Langkah ke-1: b2 =  a 3

·         Langkah ke-2: b1- b2k- a2  b1= a2 + b2k =α2+  a3k

·         Langkah ke-3:b₀_b₀k=α₀              A₀₌α₀+b₀k

     =α₁+α₂k+α₃k²

·           Langkah ke-4:A₀-b₀k=α₀               A₀₌α₀+b₀k

       =α₀+ (α₁+α₂+α₃k²₎k

      =α₀+ α₁k+α₂k²₊ α₃k³

Proses perhitungan nilai b2   b , b0, dan A0 dapat disajikan dalam skema berikut:

x-k                   α₃               α₂        α₁                        α₀

                                                   _{(+)          (+)                          (+)}

                                                α₃k    (α₂+ α₃k)k      (α_{1­+ α2}k+ α₃k²₎²

                               

                                α₃      α₂+ α₃k   α_{1­+ α2}k+ α₃k²    α₀+ α₁k+ α₂k²₊ α₃k³

                                b₂            b₁            b₀                                                     

b. Pembagian Suku Banyak dengan (ax + b)  

Untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak ( x3  –  2 x2  + 3x – 5) : (2x + 3), terlebih dahulu harus menuliskan bentuk (2x + 3) menjadi 2(x +)

            Dengan demikian,

            (x²₊2x²₊3x-5) : (2x+3) = (x³-2x²+3x-5) : 2 (x +)

Dengan menggunakan cara Horner untuk x=-, diperoleh skema sebagai berikut:

x=-     1                      -2                     3                      -5

                                                (+)                   (+)                   (+)

                                                1()             () ()            () ()             

                        1                      ()                  ()                   ()

                        = b_{2                       =} b_{1                        =} b_{0                        =} A₀₌sisa

Jadi H (x)== (4x²-14x+33) dan

A₀₌ (-139)

Pembagian suatu suku banyak oleh (αx+b) dinyatakan sebagai berikut:

Diketahui, k=maka bentuk (x-k)dapat dinyatakan sebagai berikut:

x-k=[x-()] = [(x+)]

Pembagian suku banyak P(x) oleh (x+) memberikan hubungan sebagai berikut.

P(x)= (x+) H (x)+sisa

                  =  (αx+b) H (x)+sisa

                 = (αx+b)[ ]+sisa

Persamaan (*) merupakan suku banyak P(x) dibagi (ax + b) memberikan hasil bagi H(x) dan sis pembagian.Nilai sisa dan koefisien-koefisien H(x) ditentukan dengan cara pembagian Horner untuk x = –aPersamaan (*) merupakan suku banyak P(x) dibagi (ax +b)

Contoh:

Tentukan hasil bagi dan sisa pembaian dari (4x³₊14x-15) ( 2x-5) menggunakan cara Horner.

Jawab:

x- ,      4          -10       14        -15

                                    (+)       (+)       (+)

                                        10        0          35

                            4          0          14        20

Jadi hasilnya adalah 4x²+14     = 2x²⁺₁₇ dan sisanya adalah 20

                                           2

c. Pembagian Suku Banyak dengan αx²+bx+c, dengan α=0

Pembagian (x³-x²₊4x-4) oleh (x²-1) dapat dituliskan sebagai berikut:

P(x)= (x²-1) H (x) +sisa =(x+1)(x-1) H(x)+(A₁x+A₀)

untuk x=1diperoleh P (1)=0.H(x)+ (A₀+A₁(1))=A₁+A₀

_UNTUK  x=-1diperoleh P (-1)=0.H(x)+ (A₀+A₁(-1))=A₁+A₀

_X-1           1          -1         4          -4

                                    (+)       (+)       (+)

                                   

                                    1(1)      0(1)      4(1)

                        1            0          4          0

                                                            P (1)=0

           

x-1       1          -1         4          -4

                                    (+)       (+)       (+)

                                    1(-1)    -2(-1)   6(-1)

                        1             -2           6         -10

Dari pembagian Horner ini diperoleh

P(1)=0 maka A₀+A₁(1)=0                                           A₀+A1=0

P (-1) =-10 maka A₀+A₁(-1)=-10                                A0-A1=0

                                                                                                -24₀       =-10

                                                                                                A₀=-5 dan A₁=5

Dengan demikian, sisa pembagian adalah A₀+A₁x, yaitu -5 +5x.

Contoh: Carilah sisa pembagian dai (4x³+2x²-4x+6) : (x-3) tanpa melakukan pembagian terlebih dahulu.

Jawab:

Suku banyak P(x)= 4x³+2x²-4x+6 dibagi dengan (x-3) sisanya adalah

S=P( )=P(3).

Jadi, dengan mensubtitusikan x=3 ke dala fungsi P (x), diperoleh

P(3)= 4.3²+2. 3²-4.3=120,

Dengan demikian sisa pembagiannya adalah 120

d. Pembagian dengan Pembagi (x-α)(x-b)

Suatu suku banyak p(x) yang dibagi oleh f (x) = (x-a)(x-b), dapat dituliskan sebaga berikut:

P(X)= (X-a) (x-b) H (x) + S......(1)

P(x)=(x-a) (x-b) berderajat dua sehingga sisanya berderajat masimim satu atau S= A₀+A₁x. Berdasarkan teori ini, maka persamaan (1) dapat ditulis dengan:

P (x) = (x-a) (x-b). H (x) + + A₁x+ A_0.

Sisa dapat ditentukan dengan teorema sisa, yaitu sebagai berikut.

·           Untukpembagi (x-a), diperoleh sisa

P(a) = 0. H (a) + A_{1 (}a) +A₀

          = A₁a + A₀..........(2)

·           Untuk pembai (x-b), diperoleh sisa

P(b) =0. H (b) + A₁ (b) + A₀

        = A₁b +A_0........(3)

Dari persamaan 2 dan 3, dapatkah ditemukan rumus berikut.

 

A₁= dan A₀=

 

Contoh:

Jika suku banya P(x) dibagi oleh (x-2), sisanya 8. Adapun jika P(x) dibagi oleh (x²-x-6), sisanya (3x-6. Berapa sisa pembagian P(x) oleh (x²-4)?

Jawab

Pernyataan P (x) dibai oleh (x-2) bersisa 8 dapat ditulis dala bentuk persamaan.

P (x) = (x-2) H (X) +8 yang berlaku untuk setiap bilangan real. Untuk x=2, diperoleh P (x) =8.

Pernyataan P (x) dibagi oleh (x²-x-6) bersisa (3x-6) dapat ditulis dalam persamaan

P(x) = (x-3) (x+2) H (x) +3x-6 yang berlaku untuk setiap bilangan real.

·           Untuk x=3, diperoleh P (3)

·           Untuk x=-2, diperoleh P (-2)=-12

D. TEOREMA FAKTOR

 1. Pengertian Teorema Faktor

Jika P (x) adalah suatu polinom, ax +b adalah pembagi dan sisa pembaginya adalah 0 atau P[]=0 maka ax +b adalah faktor dari P (x).

Contoh:

Tunjukkan bahwa (x+5) merupakan faktor dari P(x)=x³₊11x+30.

Jawab:

Untuk memeriksa apakah (x-k) merupakan faktor dari P(x)=0. Adapun P(k) dapat dihitung dengan cara subtitusi atau cara horner.

P(-5)=(-5)=0 maka (x+5) merupakan faktor dari P(x).

2.  Penggunaan Teorema Faktor untuk Mencai Akar Persamaan Suku Banyak

Diketahui, P(x) suku banyak dengan bentuk: P(x)= α_nxⁿ₊α_n-1.x^n-1_+.......+α₁x₊α₀

(x-k) adalah faktor linear P(x) jika dan hanya jika k akar persamaan P(x)=0. Jika suku banyak P(x) berderajat n buah akar.

Contoh

 Tentukan akar-akar bulat untuk suku banyak x²-2x-3

Jawab:

Akar bulat untuk x²-2x-3 adalah pembagi bulat dai -3 yatu {±1, ±3}.

Suku banyak P (x)= x²-2x-3 berderajat 2 sehingga maksimum banyak akar persamaan adalah dua.Untuk memperoleh akar-akar tersebut, hitunglah P (x) untuk setiap nilai k

Untuk k=1      P(1)=1²-2.1-3=-4